15/12/2023
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*Collection soro dénommé le bac n'est pas sorcier*
Résumés de mathématiques série D
Initiateur : Guillaume Togbode
*Module 2 : fonctions f(x) ; lnu et e^u*
*Séquence 1 : comment tracé une fonction ?*
Nombreux de candidats ont de difficultés à tracer une fonction. Or ils ont oublié que tracé une fonction c’est :
1) étudier ses variations ,
2)Déterminer les branches infinies
3)Étudier éventuellement la position relative des asymptotes par rapport à la courbe puis les tracés dans un repère
4)Chercher les points remarquables en supposant :
Soit {A}=(OX) inter (Cf)
A}=(OX) inter (Cf) yA = 0 donc f(xA)= 0
Par conséquent A( xA, 0)
Soit {B}=(OY) inter (Cf)
{B}=(OY) inter (Cf) xB = 0 donc yB=f(0)
Par conséquent B(0; f(0))
NB: soyez sûr 0 € Df avant de calculer f(0).
Détails
Etudier une fonction f, c’est étudier ses variations.
A- Etudier les variations de f c’est :
1-Déterminer le domaine ou ensemble de définition Df de f.
2-Calculer les limites aux bornes de Df ;
3-Etudier l’ensemble de dérivabilité et calculer sa dérivé soit f'(x) ;
4- Etudier le signe de f'(x) et dégager le sens de variation de f ;
5-Dresser le tableau de variation de f.
B- Etudier le sens de variation de la fonction f c’est :
1- Déterminer son ensemble de définition ;
2-Donner l’ensemble de dérivabilité et calculer sa dérivée f'(x);
3-Etudier le signe de f’(x) et conclure (c’est de dire si la fonction f est croissante ou décroissante ou constante).
Remarque : Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I
Si f ’ est positive sur I, alors f est croissante sur I.
Si f ’ est négative sur I, alors f est décroissante sur I.
Si f ’ est nulle sur I, alors f est constante sur I.
*Limite et les branches infinies*
Propriété : f est une fonction numérique à variable réel x, (Cf) est la courbe représentative de f dans le plan muni d’un repère orthonormé et a et b deux nombres réels.
Si lim(x→a)f(x)=(−∞ ou+∞) alors la droite d’équation x=a est une asymptote à (Cf) au voisinage de a (cette asymptote est parallèles à l’axe des ordonnées).
Si lim(x→∞)f(x) = b alors la droite d’équation y=b est une asymptote à (Cf) au voisinage de (−∞ ou+∞). Cette asymptote est parallèle à l’axe des abscisses.
Pour démontrer de façon générale qu’une droite d’équation y = ax+b est asymptote oblique à une courbe, il suffit simplement de montrer que
lim(x→∞)[f(x)-(ax+b)]=0
® Position d’une courbe par rapport à son asymptote Obliques 𝒚 = 𝒂𝒙 + 𝒃.
Pour étudier la position de (Cf) par rapport à (D): 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏, on détermine le signe de la différence 𝒅 = [𝒇(𝒙) − (𝒂𝒙 + 𝒃)].
En effet :
Si d> 0 ⟺ (𝐶𝑓) est au dessus de (D).
Si d< 0 ⟺ (𝐶𝑓) est en dessous de (D).
Si d= 0 ⟺ (𝐶𝑓) et (D) sont confondus.
✓ Calcul de limites en cas d'indétermination
*Méthode de lever une indétermination dans un calcul de limite*
Dans de nombreux calculs de limites, l’utilisation des théorèmes généraux (limite d’une somme, d’un produit, d’un quotient) ne permet pas de conclure directement. On dit alors qu’on est en présence d’une « forme indéterminée ». Dans la plupart des cas, il est possible en modifiant l’écriture de l’expression dont on cherche la limite de se retrouver dans une situation où l’on peut conclure en appliquant les théorèmes connus : on dit alors qu’on a levé l’indétermination.
Comment peut-on savoir si l’on est dans le cas d’indétermination et comment peut-on élever cette indétermination ?
1) Il est indispensable, avant de chercher à modifier une écriture de s’assurer, en remplaçant le réel dans l’expression de la fonction, que les théorèmes généraux ne permettent pas de conclure directement (il faut effectuer l’opération de la limite sur son brouillon) ;
2) reconnaître que :
a) IRI (Infinie sur Réel = Infinie)
b) ORO( zéro sur Réel = zéro)
c) ROI( Réel sur zéro = Infinie)
d) RIO ( Réel sur Infinie = zéro)
2) savoir qu'il y a 4 indéterminations répartir en 2 groupe à savoir :
1 er groupe :
a) infinie moins infinie (&-&)
b) infinie sur infinie ( &/&)
2eme groupe :
a) zéro fois infinie (0 X &)
b) zéro sur zéro ( 0/0)
3) savoir si quand je suis dans le 1 er groupe d'indétermination que je dois faire :
Extraction, c'est-à-dire faire sortir le paramètre ou la variable le(la) lourd(e) ou
faire l'expression conjugué
ou factoriser et/ou simplifier en cas de besoin.
4) savoir si quand je suis dans le 2eme groupe que je dois faire :
Allusion aux limites remarquables qui sont dans mon cahier.
5) reconnaître qu'il y a 4 limites remarquables de la fonction comportant le logarithme népérien et trois limites remarquables comportant la fonction exponentielle népérienne :
6) être en mesure de détecter la source ou la cause de l'indétermination.
7)Savoir désormais que c'est le contenu de ln( ) ou le contenu de e^( ) qui cause ou la source de l'indétermination.
8,) savoir que c'est la source ou la cause ln( ) ou e^ ( ) qu'il faut transformer.
10) si je suis dans les cas ln(0+) ; ln(+&) ; ln(1 + 0) et ln(1), il faut être en mesure de transformer :
Voir cours......
11) si je suis dans les cas e^(-&); e^(+&) et [e^(0) -1], il faut être en mesure de transformer :
......voir cours
*Suite rendez-vous dans le groupe d'étude WhatsApp en ligne COLLECTION SORO DÉNOMMÉE le BAC N'EST PAS SORCIER*
Guillaume TOGBODE
WhatsApp 95202549
COLLECTION SORO
